Digital SAT Practice Exam 1: Answers第1回 解答・解説 Math.
Math の全66問の正解と、日本語の解説です。解き方の手順と、入力して正解になる答えの例もつけています。
受けてから開いてください（解答が表示されます）
問題ごとに閉じてあります。開いた問題だけ、正解と解説が表示されます。
難易度は出題者による目安です。College Board の判定ではありません。
Module 1（22問）
Module 1 問1 Linear equations in two variables（一次方程式（文字が2つ））・やさしい
A pet sitter charges $15 for each dog walk and $25 for each overnight visit. The equation describes a week in which she earned $300 from dog walks and overnight visits. If she did 10 dog walks that week, how many overnight visits did she make?
選択肢 A：（正解）
正解。散歩の回数10を代入すると となり、 から です。
選択肢 B：
残りの150ドルを、泊まりの料金25ではなく、散歩の料金15でわっています。
選択肢 C：
300ドル全部を25でわっていて、散歩が1回もなかった場合の回数になっています。
選択肢 D：
これは泊まりの訪問でかせいだ金額で、訪問の回数ではありません。
ルール代入して解く
2つの文字の式で場面を表しているときは、わかっている数をその数の文字に代入し、残りの文字について解きます。
つぎは、こうする
代入する前に、10がどちらの文字の値なのかを確かめます。
難易度（hydeSolutionの目安）：やさしい 式がすでにあり、代入してから短い計算を2回するだけだからです。
Module 1 問2 Equivalent expressions（同じ値になる式）・やさしい
Which expression is equivalent to ?
選択肢 A：
2つ目のかっこをたさずに引いたときの式です。、、 と計算しています。かっこの間は + なので、たし算です。
選択肢 B：
と をたすときに、指数までたしています。同類項をまとめるときは係数だけをたし、 は のままです。
選択肢 C：
のマイナスを落として としています。マイナスは についているので、 です。
選択肢 D：（正解）
正解。同じ種類の項どうしをたします。、、 なので、 です。
解き方
- 同じ種類の項を集めます。 です。
- それぞれをたすと です。
ルール同類項をまとめる
多項式のたし算では、文字も次数も同じ like terms（同類項）どうしをまとめます。係数だけをたし、符号は項につけたままにし、次数は変えません。
つぎは、こうする
の項、 の項、定数の項をそれぞれ集め、符号をつけたままたします。
難易度（hydeSolutionの目安）：やさしい 同類項を3組まとめるだけの1段階の計算で、気をつける符号も少ないので、やさしい問題です。
Module 1 問3 Ratios, rates, proportional relationships, and units（比・割合・比例・単位）・やさしい
Students painting a school mural mix blue paint with white paint so that the ratio of blue paint to white paint, by volume, is 2 to 5. For a larger batch in the same ratio, they will use 35 liters of white paint. How many liters of blue paint will they need?
選択肢 A：
7は「何倍になったか」を表す数です。白は5から35へ7倍なので、青の2にも7をかける必要があります。
選択肢 B：（正解）
正解。白は で7倍になっています。青も7倍して リットルです。
選択肢 C：
青と白の差である3を、そのまま保った数です。比はかけ算で同じ倍率にそろえるもので、差をそろえるものではありません。
選択肢 D：
比を逆にして とした数です。青は白より少ないはずなので、合いません。
ルール倍率をそろえる
2つの量の両方に同じ数をかけても、比は変わりません。両方に同じ量を足したり引いたりすると、ふつうは比が変わってしまいます。
つぎは、こうする
わかっている量を、比の中でそれに対応する数でわります。出た数を、もう一方の比の数にかけます。
難易度（hydeSolutionの目安）：やさしい 整数のわり算とかけ算が1回ずつで、比の順番もはっきり書かれているからです。
Module 1 問4 Area and volume（面積と体積）・やさしい
A backyard tool shed will stand on a concrete slab shaped like a rectangular prism. The slab is 4 meters long, 3 meters wide, and 0.15 meter thick. How many cubic meters of concrete does the slab contain?
選択肢 A：（正解）
正解。体積は 立方メートルです。
選択肢 B：
3つの長さを足しただけの数です。体積はかけ算で求めます。
選択肢 C：
上の面の面積 で、厚さをかけていません。単位も平方メートルになります。
選択肢 D：
6つの面の面積をすべて足した surface area（表面積）です。コンクリートの量を表すのは体積です。
ルール直方体の体積
直方体の体積は、縦×横×高さの3つをかけて求めます。2つだけをかけると1つの面の面積になり、3つを足した数は体積を表しません。
つぎは、こうする
厚さもふくめて、3つの長さを全部かけたかを確かめます。
日本人がハマる理由
0.15 meter thick の thick は「厚さ」で、直方体の高さにあたります。long と wide だけを寸法として読み、thick を読み落とすと、面積の12で止まってしまいます。
難易度（hydeSolutionの目安）：やさしい 与えられた3つの数をかけるだけで、単位を変える必要もないからです。
Module 1 問5 Linear functions（一次関数）・やさしい
The line shown in the -plane is the graph of the linear function . Which equation defines ?
選択肢 A：
傾きと縦軸との交点が入れかわっています。 は縦軸と交わる点の高さで、2が傾きです。
選択肢 B：
「右へ進む量 ÷ 上がる量」で計算しています。 から まで、2進む間に4上がるので、傾きは2です。
選択肢 C：（正解）
正解。直線は で縦軸と交わり、右へ1進むごとに2上がるので、 です。
選択肢 D：
傾きは合っていますが、直線が縦軸と交わるのは原点より下の で、3ではありません。
ルールグラフから式
では、 が slope（傾き）で、右へ1進むごとに上がる量です。 はグラフが縦軸と交わる点の高さです。
つぎは、こうする
まず直線が縦軸と交わる点を読み、次に右へ1進むごとに何上がるかを数えます。
難易度（hydeSolutionの目安）：やさしい 2つの数を目もりの上の点から読むだけで、傾きも1回数えれば出るからです。
Module 1 問6 Nonlinear functions（一次でない関数）・やさしい
A water balloon is tossed upward from a balcony. The graph shows the height , in feet, of the balloon above the ground seconds after it is tossed, until it lands.
Height of a Water Balloon
What is the maximum height, in feet, that the balloon reaches above the ground?
選択肢 A：
いちばん高くなる時刻 (秒) で、頂点の 座標です。聞かれているのは高さなので、縦軸の値を読みます。
選択肢 B：
投げた位置からどれだけ上がったか () です。聞かれているのは、地面からの高さです。
選択肢 C：
のときの高さ、つまりバルコニーの高さです。投げたあとも風船は上がり続けるので、これより高くなります。
選択肢 D：（正解）
正解。グラフのいちばん高い点は のところで、64 の目もりの線の上にあります。最大の高さは 64 フィートです。
解き方
- 曲線は で 48 から始まり、 でいちばん高くなり、 で 0 になります。
- いちばん高い点では なので、最大の高さは 64 フィートです。
ルールグラフの頂点を読む
グラフが表す最大の値は、グラフ上の点の縦の座標のうち、いちばん大きいものです。山の形の放物線 (上に凸の放物線) では、頂点の縦の座標です。横の座標ではありません。
つぎは、こうする
曲線のいちばん高い点を見つけ、そこからまっすぐ横にたどって縦軸の目もりを読みます。
難易度（hydeSolutionの目安）：やさしい グラフから1回読み取るだけで、いちばん高い点がちょうど目もりの線の上にあるので、やさしい問題です。
Module 1 問7 Systems of two linear equations in two variables（連立一次方程式）・やさしい
The ordered pair satisfies both equations shown. What is the value of ?
選択肢 A：
これは の値です。問われているのは で、 です。
選択肢 B：
を移項するときに符号を変えず、 としたときの値です。
選択肢 C：（正解）
正解。代入すると で、、 です。よって です。
選択肢 D：
これは の値で、 だけの値ではありません。
ルール代入法
片方の式がすでに1つの文字について解かれているときは、もう一方の式のその文字に、式ごと代入します。解いたあと、問われている文字の値まで求めます。
つぎは、こうする
2つ目の式の を に置きかえます。問われているのは なので、 で止めないよう印をつけます。
難易度（hydeSolutionの目安）：やさしい 代入する形がすでにできていて、途中の数もすべて小さな整数だからです。
Module 1 問8 Linear equations in one variable（一次方程式（文字が1つ））・ふつう
Which value of makes the equation above true?
選択肢 A：
12をかけると、分母が6の項は分子の2倍、分母が4の項は分子の3倍になります。この2と3を逆にしたときの値です。
選択肢 B：
を としたときの値です。3は にもかけるので、正しくは です。
選択肢 C：（正解）
正解。すべての項に12をかけると となり、 から です。
選択肢 D：
に12をかけ忘れたときの値です。文字のない項にも12をかけます。
解き方
- 分母の最小公倍数12をすべての項にかけると です。
- かっこを外すと で、 です。
- 両辺から を引くと です。
ルール分母をはらう
分数をなくすときは、両辺のすべての項に分母の最小公倍数をかけます。文字のない項にもかけ、分子はかっこに入れたまま分配します。
つぎは、こうする
まず共通の分母を書き、何かを整理する前に、3つの項すべてにその数をかけます。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう 3つの項すべてに正しくかけ、2つの分子ではかっこを外す必要があるからです。
Module 1 問9 Equivalent expressions（同じ値になる式）・ふつう
Which of the following is equivalent to ?
選択肢 A：
引く順番が逆です。展開すると で、もとの式と符号が反対になります。
選択肢 B：
の因数分解は合っていますが、先にくくり出した2を落としています。展開すると で、もとの式の半分です。
選択肢 C：
差の2乗は、2乗の差とは別の式です。展開すると になり、 の項が出てきて、定数もプラスになります。
選択肢 D：（正解）
正解。どちらの項も2でわれるので です。、 なので、2乗の差の形から です。
解き方
- 共通の因数2をくくり出すと です。
- かっこの中は2乗の差で、 です。
- と因数分解し、前の2も残して です。
ルール共通因数と2乗の差
まず共通の因数をくくり出し、残りが2乗の差かどうかを見ます。 です。くくり出した数は前に残し、引かれる側の2乗を にします。
つぎは、こうする
型にあてはめる前に、2つの項を両方わり切る数がないかをさがします。
日本人がハマる理由
日本語の「2乗の差」と「差の2乗」は、ことばの順番が入れかわっただけに見えますが、式はまったく別です。この二つを取りちがえると、かっこごと2乗した選択肢を選んでしまいます。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう 共通の因数をくくり出してから2乗の差を使う2段階の問題で、どちらかの手順を落とすと誤答になるので、ふつうの難しさです。
Module 1 問10 Percentages（パーセント）・ふつう
The bar graph shows the number of visitors to a planetarium, in hundreds, for each of six months. By what percent did the number of visitors increase from March to April?
Planetarium Visitors by Month
選択肢 A：
15は2本の棒の差 で、単位は百人です。何パーセント増えたかを出すには、この差を3月の値でわる必要があります。
選択肢 B：
増えた分を4月の値でわった数 です。何パーセント増えたかは、前の月である3月を基準にして求めます。
選択肢 C：（正解）
正解。3月は25、4月は40(単位は百人)で、15増えています。 なので60パーセントの増加です。
選択肢 D：
は、4月の人数が3月の160パーセントだという意味です。増えた割合は、元の100パーセントをこえた分だけです。
ルール元の値でわる
増減率（percent change）は「変わった量 ÷ 元の値 × 100」で求めます。元の値とは変わる前の値のことで、あとの値を分母にはしません。
つぎは、こうする
計算を始める前に、前の月の値を分母に書いておきます。
日本人がハマる理由
文の最初の By は「どれだけの分」を表し、By what percent … increase は「何パーセント分増えたか」という意味です。By を読み落として「4月は3月の何パーセントか」と考えると、160パーセントを選んでしまいます。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう 2本の棒を読み、どちらの月を基準にするかを正しく決める必要があり、よくあるまちがいがそのまま選択肢にあるからです。
Module 1 問11 Lines, angles, and triangles（直線・角・三角形）・ふつう
In the figure shown, line is parallel to line , and a third line crosses both of them. What is the measure, in degrees, of the angle marked ?
選択肢 A：
これは の値です。角の大きさを出すには、 に代入する必要があります。
選択肢 B：
2つの式を等しいとおいたときの値です。この2つの角は等しいのではなく、足して180度になります。
選択肢 C：（正解）
正解。2つの角の和は なので 、 です。よって角は 度です。
選択肢 D：
これはもう一方の角 の大きさです。聞かれているのは の角です。
解き方
- 印の付いた2つの角は、どちらも平行線の間で、交わる直線の同じ側にあるので、和は です。 となります。
- 整理すると なので、 です。
- の角は 度です。
ルール平行線と角
平行な2本の直線に1本の直線が交わるとき、交わる直線の同じ側で平行線の間にある2つの角、つまり same-side interior angles（同側内角）は、足すと180度になります。等しくなるのは、反対側にある alternate interior angles（錯角）のほうです。
つぎは、こうする
まず印の付いた2つの角の場所を見ます。どちらも平行線の間で、交わる直線の同じ側にあれば、和を180とおきます。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう 2つの角が等しいのではなく足して180度になることに気づき、式を解き、その値を式に代入し直すという3つの手順がいるからです。
Module 1 問12 Linear inequalities in one or two variables（一次不等式）・ふつう
Which inequality has exactly the same solutions as ?
選択肢 A：
の両辺を でわるとき、不等号の向きを変えていません。負の数でわると向きが逆になります。
選択肢 B：（正解）
正解。かっこを外すと で、 です。 でわると向きが変わり、 です。
選択肢 C：
かっこの中の にだけ2をかけて、 としたときの値です。3にも2をかけるので、 になります。
選択肢 D：
を としています。正しくは です。
解き方
- をかっこの中にかけると で、 です。
- 両辺に1を足すと です。
- 両辺を でわり、不等号の向きを変えると です。
ルール向きを変える
不等式の両辺に負の数をかけたり、負の数でわったりしたときは、不等号の向きを逆にします。
つぎは、こうする
わる前に、わる数の符号を見ます。負の数なら、その場で不等号の向きを変えます。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう 負の数をかっこにかけ、さらに負の数でわるので、符号のミスが2か所で起こりやすいからです。
Module 1 問13 Nonlinear equations in one variable and systems of equations in two variables（一次でない方程式と連立方程式）・ふつう
The equation has two solutions. What is their sum?
選択肢 A：
かっこの中の符号をそのまま使い、 と をたしています。解はかっこを にする値なので、符号は逆になります。
選択肢 B：
を としています。 なので、2でわって です。
選択肢 C：（正解）
正解。 より、 または です。たすと です。
選択肢 D：
は合っていますが、もう一つの解のマイナスを落として としています。 なら は負の数です。
解き方
- 左辺を因数分解すると です。
- それぞれのかっこを とおくと、 または です。
- 2つの解をたすと です。
ルール因数分解で解く
右辺が の quadratic equation（二次方程式）は、左辺を因数分解し、それぞれのかっこを とおいて解きます。 のようなかっこからは分数の解が出ます。確かめには、 の解の和が になることが使えます。
つぎは、こうする
因数分解したら、それぞれのかっこを とおいて1つずつ解き、そのあとでたします。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう の係数が2なので解の一つが分数になり、符号やわり算のまちがいがそのまま誤答になっているので、ふつうの難しさです。
Module 1 問14 Linear equations in two variables（一次方程式（文字が2つ））・ふつう
In the -plane, a line passes through the points and . The point also lies on this line. What is the value of ?
選択肢 A：
傾きを ではなく2にしています。直線は から へ下がっているので、傾きは負です。
選択肢 B：（正解）
正解。傾きは で、直線は です。 から です。
選択肢 C：
を ではなく に代入しています。これは のときの 座標です。
選択肢 D：
「 の変化 ÷ の変化」で傾きを としています。分数が上下逆です。
解き方
- 傾きは です。
- を使うと なので で、直線は です。
- を代入すると で、 から です。
ルール2点から式
2点が決まると、直線は1本に決まります。2点から傾きを求めて式を書き、3つ目の点のわかっている座標を代入して、残りの座標を求めます。
つぎは、こうする
傾きは「 の変化 ÷ の変化」です。上と下で同じ順番に引きます。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう 3段階の計算が必要で、傾きを求めるときに負の座標で符号をまちがえやすいからです。
Module 1 問15 Nonlinear functions（一次でない関数）・ふつう
The function is exponential, with for positive constants and . The graph of in the -plane contains the points and . What is ?
正解として採点される入力の例：8
値が等しい分数も正解です（約分していないものも）。
解き方
- 2つの点から 、 です。
- 2つ目の式を1つ目の式でわると です。 は正なので です。
- よって で、 です。
よくある間違い
12： のときの値 です。聞かれているのは のときの値なので、 ともどします。9/2：1次関数のように、同じ量ずつ増えると考えています。指数関数は、同じ量ではなく同じ倍率で増えます。16/3： をそのまま としています。2点は が2はなれているので、この比は です。
ルール2点から指数関数
では、2つの点の の値をわり算すると が消え、 だけの式が残ります。初めの値 は のときの値で、最初に与えられた点の値ではありません。
つぎは、こうする
大きいほうの値を小さいほうでわって を消し、 がいくつはなれているかを数えます。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう わり算で を出し、そこから にもどる2段階の問題で、 の平方根をとるのを忘れやすいので、ふつうの難しさです。
Module 1 問16 Linear functions（一次関数）・むずかしい
For the linear function , and . What is the value of ?
正解として採点される入力の例：3/2、1.5
値が等しい分数も正解です（約分していないものも）。
解き方
- 傾きは です。
- 入力が5から2になると変化は なので、出力は だけ変わります。
- よって で、小数では1.5です。
よくある間違い
-5/2：これは の傾きです。傾きは途中の値で、問われているのは入力が2のときの出力です。13/2：これは 、つまりグラフが縦軸と交わる点の高さです。定数の部分を求めたところで止めていて、入力2での値を出していません。33/2： から2までの入力の変化を5ではなく としたときの値で、 になっています。
ルール傾きで進む
一次関数は、入力が1増えるごとに出力が同じだけ変わります。わかっている2つの値から傾きを出せば、ほかの入力での出力も求められます。
つぎは、こうする
まず傾きを求め、式全体は作らずに、2に近いほうのわかっている入力から進みます。
難易度（hydeSolutionの目安）：むずかしい 傾きが負の分数で、負の入力を引く計算があり、答えを分数か小数で入力するからです。
Module 1 問17 Equivalent expressions（同じ値になる式）・むずかしい
If , the sum is equal to which of the following?
選択肢 A：
分子どうし、分母どうしをそれぞれたしています。分数のたし算は、分母をそろえてから分子だけをたします。
選択肢 B：
分母は正しくそろえていますが、1つ目の分子を4のままにしています。分母に をかけたら、分子にも をかけます。
選択肢 C：
4に をかけています。 にするために に足りないのは なので、分子は です。
選択肢 D：（正解）
正解。 なので、分母は にそろえます。 として分子をたすと です。
解き方
- 2つ目の分母を因数分解すると なので、分母は にそろえます。
- 1つ目の分数の分母と分子に をかけると です。
- 分子をたすと なので、答えは です。
ルール分母をそろえる
分数の式のたし算では、分母を因数分解して、いちばん小さい共通の分母にそろえます。それぞれの分数の分母と分子に、足りない因数を同じようにかけてから、分子だけをたします。
つぎは、こうする
まず を因数分解し、 に足りない因数がどれかを見ます。
難易度（hydeSolutionの目安）：むずかしい 因数分解、分母をそろえる、項をまとめる、の3段階が続き、どこか一つのまちがいがそのまま誤答になるので、難しい問題です。
Module 1 問18 Two-variable data: Models and scatterplots（2つの変数のデータ（散布図とモデル））・むずかしい
The scatterplot shows the floor area , in square meters, and the monthly rent , in dollars, of 10 apartments, along with the line of best fit . For the apartment with a floor area of 75 square meters, the rent predicted by the line is how many dollars more than the actual rent?
Floor Area and Monthly Rent
正解として採点される入力の例：125
値が等しい分数も正解です（約分していないものも）。
解き方
- 床面積75平方メートルの部屋の点をさがします。この点は1,300ドルの目もり線の上にあるので、実際の家賃は1,300ドルです。
- 直線の式に を代入します。 なので、予測される家賃は1,425ドルです。
- 予測から実際の家賃を引きます。 なので、予測は実際より125ドル多くなります。
よくある間違い
1425：これは予測される家賃そのものです。問われているのは予測と実際の差なので、実際の家賃をさらに引く必要があります。-125：実際から予測を引いた、向きが逆の計算です。「予測が何ドル多いか」を聞いているので、答えは正の数です。75：65平方メートルの点を読んでしまった数です。その点は1,200ドルで、予測の1,275ドルより75ドル低くなっています。目もり線をていねいに数えます。
ルール予測と実際の差
近似直線（line of best fit）は、それぞれの の値に対する の予測値を表します。データの点と直線の差は、一方からもう一方を引いて求めます。どちらから引くかは、問題文の言い方で決まります。
つぎは、こうする
式を使う前に、与えられた床面積の点を見つけ、目もり線から家賃を読み取ります。
難易度（hydeSolutionの目安）：むずかしい 数字の書かれていない目もり線上の点を読み、式で予測値を出し、正しい向きで引く必要があり、選択肢で確かめることもできないからです。
Module 1 問19 Right triangles and trigonometry（直角三角形と三角比）・むずかしい
In the figure, angle is a right angle, point lies on , and is perpendicular to . If and , what is the value of ?
正解として採点される入力の例：8/17、.4705、.4706、0.470、0.471
値が等しい分数も正解です（約分していないものも）。
解き方
- 三角形 は角 が直角なので、斜辺は です。
- 三角形 で角 の向かいの辺は なので、 です。
- 角 と角 は直角三角形 の2つの鋭角なので、足すと です。だから片方の cos はもう片方の sin と等しくなります。
- よって です。
よくある間違い
15/17：これは (角 のとなりの辺÷斜辺) です。 と等しいのは のほうです。8/15： を でわった の値です。sin や cos は斜辺 でわります。
ルール足して90度の角
直角三角形の2つの鋭角は足すと90度なので、片方の sin はもう片方の cos と等しくなります。sin は「向かいの辺÷斜辺」です。
つぎは、こうする
辺の長さがわかっている直角三角形の中に、聞かれている角か、その角と足して90度になる角がないかをさがします。
難易度（hydeSolutionの目安）：むずかしい 角 のまわりの辺がわからないので、角 に目を移し、先に斜辺を求め、 を使う必要があるからです。
Module 1 問20 Systems of two linear equations in two variables（連立一次方程式）・むずかしい
As part of her triathlon training, Beatriz cycled at a constant speed of 24 kilometers per hour and then ran at a constant speed of 12 kilometers per hour, with no break between. The session lasted 80 minutes and covered 26 kilometers in all. For how many minutes did Beatriz cycle?
正解として採点される入力の例：50
値が等しい分数も正解です（約分していないものも）。
解き方
- 速さを1分あたりにそろえます。時速24キロは1分に キロ、時速12キロは1分に キロです。
- 自転車の時間を 分、ランニングの時間を 分とすると、、 です。
- を代入すると で、 です。
- よって で、自転車の時間は 分です。
よくある間違い
30：これはランニングの時間です。問われているのは自転車に乗った時間です。5/6：これは自転車の時間を「時間」の単位で出した値です。問われているのは分なので、60をかけます。
ルール単位をそろえる
わからない量が2つあり、合計も2つ(時間の合計と距離の合計など)わかっているときは、連立方程式を立てます。式を書く前に、速さと時間の単位をそろえます。
つぎは、こうする
まず単位を確かめます。速さは1時間あたり、時間は分なので、式を書く前にそろえます。
難易度（hydeSolutionの目安）：むずかしい 文章から2つの式を立て、さらに速さの「時間」と問題の「分」をそろえる必要があるからです。
Module 1 問21 Nonlinear equations in one variable and systems of equations in two variables（一次でない方程式と連立方程式）・むずかしい
In the -plane, the graph of , where is a constant, is a line that has no point in common with the parabola . Which of the following could equal?
選択肢 A：
を とだけ解き、 を落としています。 では判別式が で正なので、2点で交わります。
選択肢 B：（正解）
正解。 を消すと です。交わらないのは判別式が負のときで、、つまり です。 なら判別式は です。
選択肢 C：
では判別式が なので、1点 で接します。判別式が のとき交点は1つで、0個ではありません。
選択肢 D：
では判別式が で正なので、2点で交わります。交わらないのは、判別式が負のときです。
解き方
- 2つの式の を等しいとおくと 、つまり です。
- 交わらないのは、この方程式が実数の解をもたないとき、つまり判別式が負のときです。 より です。
- よって です。選択肢でこの範囲に入るのは だけです。
ルール判別式で交点の数
直線と放物線の交点の数を調べるには、2つの式を等しいとおき、右辺が の二次方程式にします。その判別式 が正なら交点は2つ、 なら1つ、負なら交点はありません。
つぎは、こうする
とおき、すべての項を左辺に移してから、判別式を の式で書きます。
日本人がハマる理由
could を can の過去形と読むと、問題の意味がとれなくなります。ここでの could は「なりうる」という意味で、条件に合う値を一つ選べばよいことを表しています。
難易度（hydeSolutionの目安）：むずかしい をふくんだまま判別式を作り、 を のように両側の範囲で解く必要があり、手順も落とし穴も多いので、難しい問題です。
Module 1 問22 Nonlinear functions（一次でない関数）・むずかしい
The quadratic function has a graph whose vertex is , and . When is written in the form , with , , and constant, what is the value of ?
正解として採点される入力の例：-1/3、-.3333、-0.333
値が等しい分数も正解です（約分していないものも）。
解き方
- 頂点を使って と書きます。
- 展開すると なので、この は の と同じです。
- を使うと 、つまり です。
- なので、 です。
よくある間違い
-3： ではなく を使っています。頂点の 座標が なら、かっこの中は です。-2： を2乗するのを忘れて としています。頂点からのはなれ方は2乗するので、 には がかかります。1/6：9 を移すときに符号をまちがえて としています。両辺から 9 を引くと です。
ルール頂点から式を立てる
頂点が の放物線は と書け、この は の の係数と同じです。あと1つ点がわかれば、わからない文字が だけの式ができます。
つぎは、こうする
頂点を入れた の形から始め、もう一つの点を代入します。
日本人がハマる理由
vertex（頂点）の意味がわからないと、この点をグラフが通る点の一つとしか読めず、式が足りなくなって手が止まります。
難易度（hydeSolutionの目安）：むずかしい のままでは文字が3つ残るので頂点を使った形に気づく必要があり、かっこの中の符号や負の分数の答えでもまちがえやすいので、難しい問題です。
Module 2（やさしいほう）（22問）
Module 2（やさしいほう） 問1 Linear equations in one variable（一次方程式（文字が1つ））・やさしい
A parking garage charges $6 when a car enters, plus $3 for every hour the car stays. One driver paid a total of $27 for a single visit. How many hours did this driver’s car stay in the garage?
選択肢 A：
27を3でわってから6を引いた数です。入るときの料金の6ドルを、時間の数のように引いてしまっています。
選択肢 B：（正解）
正解。 を時間の数とすると、 から となり、7時間です。
選択肢 C：
27を3でわっただけの数で、入るときの6ドルを引き忘れています。
選択肢 D：
ドルは、車をとめていた時間に対して払った金額です。まだ1時間の料金の3ドルでわる必要があります。
ルール固定料金を先に
合計が「1回だけの料金」と「1単位ごとの料金」でできているときは、まず合計から1回だけの料金を引きます。残りを1単位あたりの料金でわると、何単位分かが出ます。
つぎは、こうする
1時間の料金でわる前に、合計から入るときの料金を引きます。
難易度（hydeSolutionの目安）：やさしい 引き算とわり算を1回ずつするだけで、2つの料金もはっきり書かれているからです。
Module 2（やさしいほう） 問2 Equivalent expressions（同じ値になる式）・やさしい
A school’s screen-printing club is ordering T-shirts. Each blank shirt costs $4, the club pays a one-time $20 fee to prepare the screen, and printing costs $3 per shirt. The club’s total cost, in dollars, is . Which expression is equivalent to ?
選択肢 A：（正解）
正解。 と はどちらも がつくので、合わせて です。20ドルの料金には がないのでそのまま残り、 になります。
選択肢 B：
20 にも がつくものとして全部足しています。20ドルは1回だけ払う料金で、シャツ1枚ごとではありません。
選択肢 C：
係数の4と3を足さずにかけています。1枚あたり4ドルと3ドルなら、合わせて7ドルです。
選択肢 D：
と を足しても、文字の部分は のままです。 になるのは どうしをかけたときです。
ルール同類項をまとめる
まとめられるのは like terms（同類項）だけです。文字の部分が同じ項は係数を足し、数だけの項は別に残します。
つぎは、こうする
がついている項に印をつけ、その係数だけを足します。
難易度（hydeSolutionの目安）：やさしい のつく2つの項をまとめるだけの、1段階の問題だからです。
Module 2（やさしいほう） 問3 One-variable data: Distributions and measures of center and spread（1つの変数のデータ（分布・平均・散らばり））・やさしい
One morning, a walk-in clinic recorded how long each of 29 patients waited before being seen. The histogram shows the distribution of those wait times. Which interval contains the median wait time?
Patient Wait Times
選択肢 A：0 to 10 minutes
いちばん高い棒なので、ほかのどの区間よりも人数が多い区間(最頻値の区間)です。ただしこの区間には10人しかいないので、15番目の待ち時間は入っていません。
選択肢 B：10 to 20 minutes（正解）
正解。左から足すと、1本目までで10人、2本目までで 人です。29人のうち15番目、つまり中央値は10分から20分の区間にあります。
選択肢 C：20 to 30 minutes
横軸に5つある区間のうち、まん中の区間です。中央値は「まん中の人」の値で、「まん中の区間」ではありません。左の2本だけで、もう17人います。
選択肢 D：30 to 40 minutes
棒の高さ10, 7, 4, 5, 3の中央値は5で、この棒の高さと同じです。中央値は患者を順に数えて求めるもので、棒の高さのまん中ではありません。
ルール左から足していく
中央値（median）は、データを小さい順に並べたときにまん中にくる値です。ヒストグラムでは左の棒から高さを足していき、合計がまん中の順番に届いた棒の区間に中央値があります。
つぎは、こうする
まず、まん中が何番目かを出します。29人を小さい順に並べると、15番目の待ち時間が中央値です。
日本人がハマる理由
中央値の「中央」という字から、横軸のまん中にある区間を選んでしまいがちです。中央値は、並べたデータの順番のまん中で、横軸のまん中ではありません。
難易度（hydeSolutionの目安）：やさしい 人数の合計が書かれていて棒も5本だけなので、左から足していけばすぐに15番目の人が見つかるからです。
Module 2（やさしいほう） 問4 Area and volume（面積と体積）・やさしい
A closed shipping box is shaped like a cube, and each edge of the box is centimeters long. Ignoring any overlap at the edges, how many square centimeters of cardboard are needed to make all six faces of the box?
選択肢 A：
これは1つの面の面積 です。箱には面が6つあるので、6倍する必要があります。
選択肢 B：
側面の4つの面だけを数えた値 です。ふたのある箱には上の面と下の面もあり、全部で6面です。
選択肢 C：（正解）
正解。1つの面は正方形で、面積は 平方センチメートルです。6つの面で 平方センチメートルです。
選択肢 D：
これは体積 で、単位は立方センチメートルです。段ボールは面をおおうので、求めるのは面積です。
解き方
- 1つの面は正方形で、面積は 平方センチメートルです。
- 立方体には同じ大きさの面が6つあるので、必要な段ボールは 平方センチメートルです。
ルール立方体の表面積
1辺が の立方体の表面積は、正方形の面1つの面積の6倍で です。外側をおおう材料の量は面積で平方の単位、中の空間 は体積で立方の単位です。
つぎは、こうする
まず問題の単位を確かめます。平方センチメートル（square centimeters）は面積の単位なので、1つの面の面積を求めて6倍します。
日本人がハマる理由
英語の square と cubic を読み流すと、面積と体積のどちらを聞かれているのか分からなくなり、立方体と聞いて体積を計算してしまいがちです。
難易度（hydeSolutionの目安）：やさしい 辺の長さが整数で、公式を1回使えば解けます。問題の単位も面積を求めることを教えてくれるからです。
Module 2（やさしいほう） 問5 Linear equations in two variables（一次方程式（文字が2つ））・やさしい
A jar holds only nickels and quarters. Each nickel is worth $0.05, each quarter is worth $0.25, and the coins in the jar are worth $7.40 in all. If is the number of nickels and is the number of quarters, which equation shows this relationship?
選択肢 A：（正解）
正解。5セント硬貨の合計は ドル、25セント硬貨の合計は ドルで、足すと7.40ドルです。
選択肢 B：
5セント硬貨の枚数に0.25を、25セント硬貨の枚数に0.05をかけていて、金額と枚数の組み合わせが逆です。
選択肢 C：
左辺はセントの単位 (5セントと25セント) なのに、右辺はドルの単位で、両辺の単位がそろっていません。
選択肢 D：
硬貨の枚数を足しているだけなので、左辺は枚数になり、金額にはなりません。
ルール単位をそろえる
合計の金額を式にするときは、それぞれの個数に1個あたりの金額をかけて足します。個数だけを足すと、金額ではなく枚数になります。
つぎは、こうする
それぞれの文字を、その硬貨1枚の金額と組み合わせます。そのあと、式の両辺がどちらもドルになっているかを確かめます。
難易度（hydeSolutionの目安）：やさしい 硬貨1枚の金額が問題文に書かれていて、枚数と組み合わせるだけで式が作れるからです。
Module 2（やさしいほう） 問6 Equivalent expressions（同じ値になる式）・やさしい
The expression is equivalent to which of the following?
選択肢 A：
かっこの中の項は でわってあるのに、外に6しか書いていません。展開すると になり、もとの式と合いません。
選択肢 B：
展開すると だけになります。 を でわると1が残るのに、それが消えています。
選択肢 C：
数字は6でわっていますが、各項を でわるのを忘れています。展開すると になります。
選択肢 D：（正解）
正解。、、 なので、 です。
ルール共通因数でくくる
共通因数でくくるときは、すべての項をその因数でわります。因数と同じ項をその因数でわると、かっこの中には0ではなく1が残ります。
つぎは、こうする
くくった形をもう一度展開して、もとの3つの項がすべて出てくるか確かめます。
難易度（hydeSolutionの目安）：やさしい 共通因数は見つけやすく、注意する点は1になる項だけだからです。
Module 2（やさしいほう） 問7 Probability and conditional probability（確率と条件つき確率）・やさしい
The table shows the number of volunteers at a beach cleanup, sorted by age group and by shift. Each volunteer worked exactly one shift.
| Age group | Morning | Afternoon | Total |
|---|---|---|---|
| Under 18 | 12 | 18 | 30 |
| 18 to 40 | 20 | 14 | 34 |
| Over 40 | 16 | 8 | 24 |
| Total | 48 | 40 | 88 |
One volunteer from the afternoon shift will be picked by lottery. What is the probability that the person picked is under 18 years old?
選択肢 A：
分子の18は合っていますが、88はボランティア全員の数です。午後の人の中から選ぶので、分母は午後の合計にします。
選択肢 B：
午前と午後を合わせた全員から選んだときに、18歳未満である確率です。「午後の人から選ぶ」という条件が入っていません。
選択肢 C：（正解）
正解。選ぶのは午後に参加した40人の中からで、そのうち18歳未満は18人なので、確率は です。
選択肢 D：
分母の30は、午前と午後を合わせた18歳未満の人数です。これは「18歳未満の人が午後に参加していた確率」という別の問いの答えです。
ルール分母の集団を決める
ある集団の中からだけ無作為に選ぶときは、その集団の人数が確率の分母になります。分子は、その集団の中で条件に合う人の数です。
つぎは、こうする
だれの中から選ぶのかを示す部分を見つけ、その集団の合計を分母にします。
難易度（hydeSolutionの目安）：やさしい 必要な数はすべて表に書かれていて、どの合計でわるかを決めるだけだからです。
Module 2（やさしいほう） 問8 Linear functions（一次関数）・やさしい
Three inputs of the linear function and their outputs are shown.
What is the rate of change of with respect to ?
選択肢 A：
の変化を の変化でわっていて、分母と分子が逆になっています。
選択肢 B：
1は の値で、グラフが縦軸と交わる高さです。変化の割合ではありません。
選択肢 C：（正解）
正解。 が1から3になると出力は4から10になるので、 です。
選択肢 D：
6は が1から3まで2ふえたときの出力のふえ方です。まだ2でわる必要があります。
ルール変化の割合
一次関数の rate of change（変化の割合）は、2つの点のあいだの「出力の変化 ÷ 入力の変化」です。どの2点を選んでも同じ値になります。
つぎは、こうする
わり算をする前に、2つの点のあいだで入力がいくつ変わったかを確かめます。
日本人がハマる理由
英語の rate of change（変化の割合）という言い方と、日本の授業で習う「変化の割合」が結びついていないと、何を求めるのかで迷います。
難易度（hydeSolutionの目安）：やさしい 問題に書かれた値を使って、変化の割合を1回計算するだけだからです。
Module 2（やさしいほう） 問9 Nonlinear equations in one variable and systems of equations in two variables（一次でない方程式と連立方程式）・やさしい
What value of satisfies the equation ?
選択肢 A：
2乗せずに としています。 で、7になりません。
選択肢 B：（正解）
正解。両辺を2乗すると 、 なので です。 で合っています。
選択肢 C：
49から1を引くところで足してしまい、 になっています。
選択肢 D：
これは の値で、 ではありません。最後に3でわるのを忘れています。
ルール両辺を2乗する
片方の辺が square root（平方根）だけの式は、両辺を2乗してから解き、出た値をもとの式に入れて確かめます。
つぎは、こうする
まず両辺を2乗します。右辺の7は49になります。
難易度（hydeSolutionの目安）：やさしい 両辺を2乗したあとは、かんたんな一次方程式を解くだけだからです。
Module 2（やさしいほう） 問10 Systems of two linear equations in two variables（連立一次方程式）・やさしい
Both equations shown are true for the same pair of numbers and . What is the value of ?
選択肢 A：
左辺は足しているのに、右辺では19から11を引いて としています。
選択肢 B：
3は の値で、問われている の値ではありません。
選択肢 C：（正解）
正解。2つの式を足すと と が消えて となり、 です。
選択肢 D：
30は の右辺で、まだ6でわっていません。
ルール加減法で消す
2つの式で、同じ文字の係数が と のように符号だけちがうときは、左辺どうし、右辺どうしを足すと、その文字が消えて、文字が1つだけの式になります。
つぎは、こうする
と のような組を見つけたら、左辺どうし、右辺どうしを足します。
難易度（hydeSolutionの目安）：やさしい の項がはじめから と で、足せば消える形なので、1回足して1回わるだけで解けるからです。
Module 2（やさしいほう） 問11 Nonlinear functions（一次でない関数）・やさしい
The exponential function is graphed in the -plane shown. The graph meets the -axis at . Which choice gives the value of ?
選択肢 A：
が大きくなると曲線は 軸に近づきますが、それは曲線が平らになっていく所で、縦軸と交わる点ではありません。
選択肢 B：
曲線は を通りますが、この点は縦軸から1目もり右で、 の所です。
選択肢 C：（正解）
正解。 のとき曲線の高さは6なので、縦軸と で交わり、 です。
選択肢 D：
曲線は を通りますが、この点は縦軸から1目もり左で、縦軸の上ではありません。
ルールグラフを読む
グラフが縦軸と交わるのは入力が0のところです。だから 切片は、ほかの点ではなく縦軸の上で読みます。
つぎは、こうする
縦軸に指を置き、曲線が交わる点の高さを読みます。
難易度（hydeSolutionの目安）：やさしい 答えを目もりの線の上でグラフから直接読めるからです。
Module 2（やさしいほう） 問12 Linear inequalities in one or two variables（一次不等式）・ふつう
The number line shows every solution of an inequality, and no other numbers.
Which of these inequalities has exactly this solution set?
選択肢 A：
と5が見えますが、これは の範囲です。3を足すと になります。
選択肢 B：
解くと となり、 をふくまず5をふくみます。図は が黒丸、5が白丸なので逆です。
選択肢 C：
3つの部分から3を引くと 、つまり で、図の範囲とちがいます。
選択肢 D：（正解）
正解。3つの部分すべてに3を足すと 、2でわると で、図と同じく はふくみ、5はふくみません。
ルール黒丸と白丸
不等号が2つある不等式は、3つの部分すべてに同じ計算をして解きます。数直線の黒丸は、はしの数をふくむ ()、白丸はふくまない () という意味です。
つぎは、こうする
それぞれの選択肢を だけの形に直し、両はしの数と、黒丸か白丸かを図とくらべます。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう 選択肢ごとに2段階の計算が必要で、ふくむ端だけがちがう選択肢もあるからです。
Module 2（やさしいほう） 問13 Equivalent expressions（同じ値になる式）・ふつう
The equation holds for every value of , where and are constants and . What is the value of ?
選択肢 A：（正解）
正解。展開すると で、 と から です。よって です。
選択肢 B：
真ん中の項を としています。2乗の展開では真ん中の項は2倍になり、 です。
選択肢 C：
真ん中の項を として、 をかけ忘れています。
選択肢 D：
のときの値です。 でも になりますが、問題には と書かれています。
解き方
- 左辺を展開すると です。
- の係数を比べると で、 なので です。
- の係数を比べると です。
ルール展開して比べる
2つの多項式がどんな でも等しいとき、 の項どうし、 の項どうしの係数が等しくなります。2乗した式の真ん中の項は、2つの項の積の2倍です。
つぎは、こうする
先に の項から を求め、それを真ん中の項に使います。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう 2つの文字を順に求める必要があり、 の条件で の値を1つにしぼるからです。
Module 2（やさしいほう） 問14 Percentages（パーセント）・ふつう
When a two-year plan began, a school district had 240 solar panels on its roofs. The panel count increased by 25 percent in the first year and reached 348 at the end of the second year.
By what percent did the panel count increase from the end of the first year to the end of the second year?
正解として採点される入力の例：16
値が等しい分数も正解です（約分していないものも）。
解き方
- 1年目の終わりの枚数を出します。25パーセント増えると 倍になるので、 枚です。
- 2年目に増えた数を出します。 枚です。
- 増えた数を、2年目の始めの枚数である300枚でわります。 です。
- 小数をパーセントに直します。 なので、2年目は16パーセントの増加です。答えは16と入力します。
よくある間違い
20：2年目に増えた48枚を、最初の240枚でわった から出た数です。2年間の増加率45から25を引いても20になります。2年目の増加率は、2年目の始めの300枚を基準にします。45：2年間を合わせた増加率 から出た数です。問われているのは、1年目の終わりから2年目の終わりまでの変化だけです。116： から出た数で、2年目の終わりの枚数が1年目の終わりの116パーセントだという意味です。増加率は、そこから100を引いた分です。
ルール2回目の基準を出す
増加が続けて起こるときは、それぞれの増加率（percent increase）を、その増加の直前の量を基準にして求めます。最初の量ではありません。まず直前の量を出し、「増えた量 ÷ 直前の量 × 100」を計算します。
つぎは、こうする
まず1年目のあとの枚数を出します。2年目の増加率は、240ではなくこの枚数を基準にします。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう 25パーセントの増加から新しい基準の300を出す手順が1つ多く、選択肢もないので、基準や小数のまちがいに気づきにくいからです。
Module 2（やさしいほう） 問15 Lines, angles, and triangles（直線・角・三角形）・ふつう
In the figure, , and side of triangle is extended past to point .
What is the value of ?
選択肢 A：
104度を三角形の内側の の角と考え、 としたときの値です。104度の角は三角形の外側にあります。
選択肢 B：（正解）
正解。三角形の内側の の角は 度です。残りの 度を等しい2つの底角で分けるので、 です。
選択肢 C：
これは三角形の内側の の角 度です。問われているのは の角で、等しい2つの底角の1つです。
選択肢 D：
を の外側の角と同じとしたときの値です。三角形の外角は、ほかの2つの頂点の内角の和なので、ここでは です。
解き方
- 一直線上の角の和は180度なので、三角形の内側の の角は 度です。
- なので と の角は等しく、2つ合わせて 度です。
- よって です。
ルール外角と二等辺
二等辺三角形（isosceles triangle）では、等しい2辺の向かいにある2つの角が等しくなります。三角形の外角は、ほかの2つの頂点の内角の和に等しいので、等しい2辺にはさまれた頂点の外角は底角の2倍です。
つぎは、こうする
の角にも と書きこみ、 の外側の角が に等しいことを使います。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう 底角が等しいことと外角の性質の2つを組み合わせる必要があり、途中で止めると誤答になるからです。
Module 2（やさしいほう） 問16 Linear equations in one variable（一次方程式（文字が1つ））・ふつう
For what value of are the two sides of the equation shown equal?
選択肢 A：
を右辺に移すときに符号を変えず、 としています。
選択肢 B：
左辺で3を にだけかけて、 としています。正しくは です。
選択肢 C：
右辺で4を にだけかけて、 としています。正しくは です。
選択肢 D：（正解）
正解。かっこをはずすと 、よって で です。両辺とも21になります。
ルール分配してから解く
かっこの外の数は、かっこの中のすべての項にかけます。そのあと文字の項を片側に集めます。等号の反対側に移した項は、符号を変えます。
つぎは、こうする
式を整理する前に、かっこの外の数から、かっこの中の各項へ矢印をかきます。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう かっこを2か所はずし、移項もあるので、符号やかけ算のまちがいが起きやすいからです。
Module 2（やさしいほう） 問17 Nonlinear equations in one variable and systems of equations in two variables（一次でない方程式と連立方程式）・ふつう
What are the two solutions of ?
選択肢 A：（正解）
正解。解の公式から で、両方の項を2でわると です。
選択肢 B：
は2でわっていますが、 をわっていません。分子の2つの項はどちらも分母でわります。
選択肢 C：
根号の中を としています。 は引くところを足しています。
選択肢 D：
公式の最初を ではなく にしていて、4の前の符号が逆になっています。
解き方
- 、、 を解の公式に入れると です。
- 根号の中は で、 です。
- よって です。
ルール解の公式
quadratic formula（解の公式）を使うと、2つの解が一度に出ます。根号の中を先に簡単にしてから、分子のすべての項を分母でわります。
つぎは、こうする
先に を計算して書き出してから、根号を扱います。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう 符号をまちがえずに公式を使い、わる前に根号を簡単にする必要があるからです。
Module 2（やさしいほう） 問18 Linear equations in two variables（一次方程式（文字が2つ））・ふつう
In the -plane, the graph of crosses the -axis at the point and the -axis at the point . What is the value of ?
正解として採点される入力の例：-6
値が等しい分数も正解です（約分していないものも）。
解き方
- 軸上では です。 より です。
- 軸上では です。 より です。
- したがって です。
よくある間違い
14： からは ですが、負の符号を落として10としています。-10：これは 軸と交わる点の だけです。問われているのは と の和です。
ルール切片を求める
直線が 軸と交わるのは のところ、 軸と交わるのは のところです。もう一方の文字に0を入れて解き、出た値の符号もそのまま使います。
つぎは、こうする
片方の文字を指でかくして0とみなし、もう一方の文字について解きます。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう 計算は短いですが、 の係数が負なので切片の一つが負になり、その符号を落としやすいからです。
Module 2（やさしいほう） 問19 Nonlinear functions（一次でない関数）・ふつう
If , what is the value of ?
正解として採点される入力の例：-5
値が等しい分数も正解です（約分していないものも）。
解き方
- を代入すると です。
- を代入すると です。
- 問われた順に引くと です。
よくある間違い
5：引く順番が逆で、 ではなく を計算しています。19： を としてしまい、 が27ではなく3になっています。11： を としてしまい、 が27ではなく11になっています。そのため差が になります。
ルール代入して引く
負の数を関数に代入するときは、かっこをつけてから2乗やかけ算をします。そうすると符号をまちがえません。
つぎは、こうする
計算する前に、 のところすべてに とかっこつきで書きます。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう 負の数を入れる計算をふくめて2回代入し、正しい順に引く必要があるからです。
Module 2（やさしいほう） 問20 Linear functions（一次関数）・むずかしい
For the linear function , and . The graph of is the graph of shifted 3 units to the right in the -plane, and the point lies on the graph of . What is the value of ?
正解として採点される入力の例：47/2、23.5
値が等しい分数も正解です（約分していないものも）。
解き方
- の傾きは です。
- とおきます。 より なので、 です。
- 右に3だけ動かすと、式の が に置きかわります。よって で、 です。
- 計算すると で、小数では23.5です。
よくある間違い
17/2：これは で、左に3だけ動かした場合の値です。右に動かすときは です。16：これは動かす前の のグラフが 軸と交わる点の値です。
ルール平行移動
グラフを右に だけ動かすと、式の は に置きかわります。新しいグラフの での値は、もとのグラフの での値と同じです。
つぎは、こうする
動かしたあとに 軸上にくるのは、もとのグラフのどの点かを考え、そこでもとの関数の値を求めます。
難易度（hydeSolutionの目安）：むずかしい 2点から式を作り、向きをまちがえやすい平行移動をあつかい、答えも整数ではないからです。
Module 2（やさしいほう） 問21 Nonlinear functions（一次でない関数）・むずかしい
Let . Each time increases by , the value of decreases by the same percent. What percent is that decrease?
正解として採点される入力の例：20
値が等しい分数も正解です（約分していないものも）。
解き方
- 指数を書きかえると です。
- よって で、 が1増えるごとに値は0.8倍になります。
- 0.8倍は80パーセントが残るということなので、減る割合は パーセントです。
よくある間違い
36： は が2増えたときの減り方で、1増えたときではありません。80：0.8倍は80パーセントが残るという意味です。問われているのは減る割合で、20パーセントです。18：36パーセントを半分にしていますが、18パーセントずつ2回減ると 倍になり、0.64倍になりません。
ルール1回ごとの倍率
指数が入力そのものになるように式を書きかえます。そのときの base（底）が なら、入力が1増えるごとに値は 倍になります。 なら、1回ごとに パーセント減ります。
つぎは、こうする
パーセントを考える前に、0.64 の平方根を求めます。
難易度（hydeSolutionの目安）：むずかしい 指数を書きかえないと割合が見えず、0.64をそのまま1から引いた36に引っかかりやすいからです。
Module 2（やさしいほう） 問22 Circles（円）・むずかしい
Points , , and lie on the circle shown, which has center . The measure of angle is .
Which expression represents the measure, in degrees, of angle ?
選択肢 A：（正解）
正解。中心角 は、同じ弧に対する円周角 の2倍で 度です。 なので三角形 の残り2つの角は等しく、 です。
選択肢 B：
の角を としたときの式 です。中心角は同じ弧に対する円周角の2倍なので、 の角は です。
選択肢 C：
これは角 と角 の和です。 なのでこの2つの角は等しく、1つ分は の半分です。
選択肢 D：
これは中心角 の大きさです。問われているのは、三角形 の頂点 の角です。
解き方
- 円周角 と中心角 は同じ弧 に対する角なので、角 は 度です。
- と はどちらも半径なので、三角形 は二等辺三角形で、角 と角 は等しくなります。
- この2つの角で 度を分けるので、角 は 度です。
ルール円周角と中心角
中心角（central angle）は、同じ弧に対する円周角の2倍です。2本の半径と、その先を結ぶ弦でできる三角形は二等辺三角形なので、弦の両はしにある2つの角は等しくなります。
つぎは、こうする
中心の角 に と書きこみ、 から出る2辺が半径である三角形 を見ます。
難易度（hydeSolutionの目安）：むずかしい 中心角、等しい半径、三角形の内角の和の3つをつなげる必要があり、しかも数ではなく文字で計算するからです。
Module 2（難しいほう）（22問）
Module 2（難しいほう） 問1 Linear functions（一次関数）・やさしい
The graph of in the -plane is a line. What is the slope of this line?
選択肢 A：
傾きの逆数になっています。傾きは の係数そのもので、分数を上下逆にした数ではありません。
選択肢 B：（正解）
正解。 では が傾きです。ここで にかかる数は なので、傾きは です。
選択肢 C：
マイナスの符号が落ちています。 が増えると は減るので、傾きは負の数です。
選択肢 D：
7は定数項で、 切片です。グラフは で 軸と交わりますが、これは傾きではありません。
ルール傾きを読む
1次関数を の形で書いたとき、グラフの slope（傾き）は にかかる数 で、符号もふくみます。 は 切片です。
つぎは、こうする
にかかっている数を見つけ、符号もそのまま読みます。
難易度（hydeSolutionの目安）：やさしい 式がはじめから の形なので、傾きをそのまま1回で読み取れるからです。
Module 2（難しいほう） 問2 Nonlinear equations in one variable and systems of equations in two variables（一次でない方程式と連立方程式）・やさしい
If , what are all possible values of ?
選択肢 A： only
正の平方根 だけを使っています。2乗して 36 になる数は 6 と なので、 からもう一つの解 が出ます。
選択肢 B： and
2 を引くところで、たしています。 なら です。 を入れると になり、36 になりません。
選択肢 C： and
平方根をとらずに 、 としています。左辺は2乗なので、 は 36 の平方根の 6 か です。
選択肢 D： and （正解）
正解。 も も 36 なので、 または です。2 を引くと または です。
解き方
- 両辺の平方根をとり、プラスとマイナスの両方を考えます。 または です。
- それぞれ 2 を引くと、 または です。
ルール平方根をとって解く
正の数 について なら、 または です。 が のような式のときは、2つの式をそれぞれ解きます。2乗した式が正の数に等しいとき、解は2つあります。
つぎは、こうする
を求める前に、右辺が の式と の式の2つを書きます。
難易度（hydeSolutionの目安）：やさしい 平方根をとって 2 を引くだけで答えが出て、36 も小さな平方数なので、やさしい問題です。
Module 2（難しいほう） 問3 Inference from sample statistics and margin of error（標本からの推定と誤差の範囲）・やさしい
A fire safety inspector chose 25 of a town’s 2,000 homes at random and counted the working smoke alarms in each one; the results appear in the dot plot. Using this sample, estimate how many homes in the town have fewer than two working smoke alarms.
Working Smoke Alarms in 25 Homes
選択肢 A：
警報器がちょうど1つの5軒だけを数えると、 になります。1つもない家も「2つ未満」に入るので、0の上の2つの点も数えます。
選択肢 B：（正解）
正解。標本25軒のうち、1つもない家が2軒、1つの家が5軒で、合わせて7軒です。町全体では 軒と見積もれます。
選択肢 C：
警報器がちょうど2つの9軒まで数えると、 になります。「2つ未満」にちょうど2つの家は入らないので、0と1の列だけを数えます。
選択肢 D：
警報器が2つ以上ある家を数えると、 になります。聞かれているのとは反対の家の数です。
ルール標本から全体へ
無作為に選んだ標本（sample）では、ある条件に合うものの割合が、全体での割合の見積もりになります。その割合に全体の数をかけると、全体での数を見積もれます。
つぎは、こうする
0と1の上にある点だけを数え、その数を25でわって割合を出します。
日本人がハマる理由
英語の fewer than two は「2未満」で、2は入りません。「2以下」と読んでしまうと、警報器がちょうど2つの家(2の上の点の列)まで数えてしまいます。
難易度（hydeSolutionの目安）：やさしい 点の列を2つ数えて割合を1回かけるだけで、標本の数も町の家の数も問題文に書かれているからです。
Module 2（難しいほう） 問4 Linear equations in one variable（一次方程式（文字が1つ））・ふつう
In the equation shown, is a constant. If the equation has infinitely many solutions, what is the value of ?
選択肢 A：（正解）
正解。分配すると左辺は です。定数項はすでに等しいので、 から です。このとき両辺はどちらも になります。
選択肢 B：
の項を忘れて を解いています。左辺の の係数は ではなく です。
選択肢 C：
を右辺に移すときに符号を変えず、 としています。両辺から を引くと です。
選択肢 D：
に3をかけ忘れて を解いています。かっこの外の3は にも にもかかります。
解き方
- 分配すると なので、左辺は です。
- 定数項はすでに等しく、どちらの辺も です。
- 両辺が同じ式になるには、 の係数も等しくなければなりません。 です。
- よって で、 です。
ルール両辺を同じ式に
1次方程式の解が無数にあるのは、両辺を整理したとき の coefficient（係数）も constant term（定数項）も一致して、両辺がまったく同じ式になるときだけです。
つぎは、こうする
右辺と比べる前に、まず3を分配して、左辺の の項をまとめます。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう 分配と係数の比較の2段階が必要で、どちらかでミスをすると、そのまま別の選択肢になるからです。
Module 2（難しいほう） 問5 Equivalent expressions（同じ値になる式）・ふつう
Which of these products equals for all values of ?
選択肢 A：
最初と最後の項は合っていますが、符号が逆のかっこについています。外側と内側の積は と なので、真ん中の項は ではなく です。
選択肢 B：（正解）
正解。展開すると となり、もとの式とすべての項が一致します。
選択肢 C：
最初と最後の項は合っていますが、外側と内側の積は と で、たすと です。4 と 5 の入る場所が逆です。
選択肢 D：
これも と にはなりますが、真ん中の項は です。最初と最後の項が合う組み合わせは多く、真ん中が になるのは一つだけです。
解き方
- かけて 、たして になる2つの数をさがすと、 と です。
- 真ん中の項を分けると です。
- 共通の をくくり出すと です。
ルールたすきがけの因数分解
で のときは、かけて 、たして になる2つの数をさがし、真ん中の項を分けてから、2つずつまとめて因数分解します。2つのかっこの積を確かめるときは、外側の積と内側の積をたして真ん中の項になるかを見ます。
つぎは、こうする
それぞれの選択肢で外側どうしと内側どうしだけをかけ、たした結果が になるかを見ます。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう の係数が6で組み合わせが多く、どの選択肢も最初と最後の項は合うので、真ん中の項まで確かめる必要があり、ふつうの難しさです。
Module 2（難しいほう） 問6 Evaluating statistical claims: Observational studies and experiments（統計による主張の評価（観察研究と実験））・ふつう
Eighty office workers volunteered for a study. Researchers randomly assigned half of them to work at standing desks for 12 weeks, while the other half kept their regular desks. On average, the standing-desk group reported significantly less back pain. Which conclusion does the study best support?
選択肢 A：Using a standing desk is likely to cause less back pain for office workers in general.
参加者は、オフィスで働く人全体から無作為に選ばれたわけではありません。そのため、結果をオフィスで働く人全体に広げることはできません。机が原因だと言えるのは、参加者に似た人についてだけです。
選択肢 B：Using a standing desk is likely to cause less back pain for office workers similar to the volunteers.（正解）
正解。机の種類は無作為に割り当てられたので、腰痛の差は机によるものと言えます。ただし参加者は自分から申し出た人たちなので、言えるのは参加者に似た人についてだけです。
選択肢 C：Standing desks are linked with less back pain, but the study cannot show that the desks caused the difference.
人が自分で選んだ机を観察しただけの調査なら、これが答えになります。この研究では机を無作為に割り当てているので、原因についても結論が出せます。
選択肢 D：No conclusion about the effect of standing desks can be drawn, because every worker in the study was a volunteer.
自分から申し出た人だけなので、結果を広げられる範囲はせまくなります。それでも無作為な割り当てがあるので、参加者に似た人については結論が出せます。
ルール割り当てと抽出
参加者を無作為にグループに分ける（random assignment）と、原因と結果の関係まで言えます。集団から無作為に選ぶ（random selection）と、結果をその集団全体に広げられます。無作為に選んでいないときは、調べた人に似た人についてだけ言えます。
つぎは、こうする
2つのことを別々に確かめます。グループ分けは無作為だったか。参加者は、もっと大きな集団から無作為に選ばれたか。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう 計算はありませんが、無作為な割り当てと無作為な選び方を区別し、それぞれで何が言えるかを正しく当てはめる必要があるからです。
Module 2（難しいほう） 問7 Right triangles and trigonometry（直角三角形と三角比）・ふつう
The figure shows a side view of a straight wheelchair ramp that climbs from level ground to a doorway meter above the ground. The ramp makes a angle with the ground. Which expression gives the length, in meters, of the ramp?
選択肢 A：
高さに をかけると より小さい数になります。スロープは斜辺なので、高さより長いはずです。高さは sin でわります。
選択肢 B：（正解）
正解。高さは の角の向かいの辺、スロープは斜辺なので です。よって で、約 メートルです。
選択肢 C：
cos は斜辺と、角のとなりの辺 (ここでは地面) を結びつける比です。 メートルの高さは角の向かいの辺なので、使うのは sin です。
選択肢 D：
高さを でわると、スロープが地面にそって進む水平の距離になります。聞かれているのは、ななめのスロープそのものの長さです。
解き方
- メートルの高さは の角の向かいの辺で、スロープは直角三角形の斜辺です。
- スロープの長さを メートルとすると、 です。
- 両辺に をかけて でわると、 で、約 メートルです。
ルールsinで斜辺を出す
直角三角形では、鋭角の sin は「向かいの辺÷斜辺」です。だから角とその向かいの辺がわかっているときは、斜辺は「向かいの辺÷その角の sin」で求めます。
つぎは、こうする
まず の角から見て、それぞれの辺が「向かいの辺」「となりの辺」「斜辺」のどれかを書きこみます。そのあとで sin、cos、tan を選びます。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう 使う比は1つですが、高さとスロープを向かいの辺と斜辺に正しく当てはめ、求める長さが分母に来る形に直す必要があるからです。
Module 2（難しいほう） 問8 Systems of two linear equations in two variables（連立一次方程式）・ふつう
Lines and , shown in the -plane, are the graphs of the two equations in a system of linear equations. Which ordered pair makes both equations of the system true?
選択肢 A：
を左辺へ移すときに符号を変えず、 から としています。直線 が通るのは なので、 は直線 の上にしかありません。
選択肢 B：
直線 が 軸と交わる点を、すぐ上の数字の目もり6と読んでいます。 が交わるのは4より1目もり上の5なので、式は です。
選択肢 C：
交点のすぐ右上で、直線 が目もりの線の交わる点を通るところです。直線 は と を通るので、 のときの は ではなく です。 を通るのは直線 だけです。
選択肢 D：（正解）
正解。直線 は と を通るので 、直線 は と を通るので です。 から なので、、 です。
解き方
- 直線 は と を通るので、傾きは です。 を使うと 、つまり です。
- 直線 は 軸と で交わり、 も通るので、傾きは で、式は です。
- 交点では2つの式の が等しいので、 です。 より です。
- なので、解は です。
ルール式を作って連立
連立方程式の解は、2本の直線の両方の上にある点です。交点が目もりの線の交わる点からずれているときは、はっきり読める2点から直線の式をそれぞれ作り、2つの式を連立して解きます。
つぎは、こうする
それぞれの直線が目もりの線の交わる点をちょうど通るところを2つ選んで式を作り、2つの の式を等しいとおきます。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう 式が書かれておらず、交点も目もりの線の交わる点にないので、グラフから2本の式を作って解く必要があります。直線 の 切片はグラフの外にあります。
Module 2（難しいほう） 問9 Nonlinear equations in one variable and systems of equations in two variables（一次でない方程式と連立方程式）・ふつう
A rectangular patio has an area of 96 square meters. The patio’s length is 4 meters greater than its width. What is the perimeter, in meters, of the patio?
選択肢 A：
縦と横の和 です。周の長さは4つの辺をすべてたすので、この和の2倍です。
選択肢 B：
幅の4倍 で、4つの辺がすべて 8 メートルの正方形として計算しています。2つの辺は 12 メートルの長さです。
選択肢 C：（正解）
正解。幅を とすると長さは で、 です。 より 、長さは 12 なので、周の長さは です。
選択肢 D：
を符号を逆にして因数分解し、幅 12、長さ 16 としています。この大きさだと面積は 192 平方メートルで、96 ではありません。
解き方
- 幅を メートルとすると、長さは なので 、つまり です。
- 因数分解すると です。幅は負にならないので 、長さは です。
- 周の長さは メートルです。
ルール面積から二次方程式
長方形の面積がわかっていて、一方の辺がもう一方の辺で表されているときは、幅と長さの積を面積に等しいとおいて、文字が一つの二次方程式を作ります。解いたら正の解だけを使い、最後に聞かれているもの (辺の長さとはかぎりません) を求めます。
つぎは、こうする
と書き、求めた幅と長さをかけて 96 になるかを確かめてから先に進みます。
日本人がハマる理由
perimeter（周の長さ）の意味があいまいだと、途中で出した幅や、縦と横の和をそのまま答えにしてしまいます。area（面積）とのちがいを確かめておきます。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう 式を立て、二次方程式を解き、周の長さを求める3段階があり、途中で止めたり因数分解の符号をまちがえたりすると選択肢の数になるので、ふつうの難しさです。
Module 2（難しいほう） 問10 Linear inequalities in one or two variables（一次不等式）・ふつう
A summer camp has $1,500 for activities and must keep at least $200 of it for equipment repairs. Archery sessions cost $40 each, and climbing sessions cost $95 each. Which inequality shows the possible numbers of archery sessions, , and climbing sessions, , the camp can pay for?
選択肢 A：（正解）
正解。活動に使えるのは多くても ドルです。アーチェリーの費用は 、クライミングの費用は なので、 です。
選択肢 B：
不等号の向きが逆です。「少なくとも」は残すお金についての言葉なので、使うお金は1,300ドル以下でなければなりません。
選択肢 C：
200ドルを予算から引かずに足しています。修理のために残すお金は活動には使えないので、1,500から引きます。
選択肢 D：
値段と回数の組み合わせが逆です。 はアーチェリーの回数で、1回40ドルなので、費用は ではなく です。
ルール予算の不等式
予算の一部を残さなければならないとき、使えるお金は「予算 − 残すお金」以下です。残すお金の「少なくとも」は、使うお金の「多くても」になります。それぞれの値段は、その回数にかけます。
つぎは、こうする
まず1,500ドルから残す200ドルを引き、それから不等号の向きを決めます。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう 「少なくとも」が使うお金ではなく残すお金にかかっているので、不等号の向きを自分で考える必要があるからです。
Module 2（難しいほう） 問11 Nonlinear functions（一次でない関数）・ふつう
The curve shown is the graph of , where is a cubic polynomial function.
Which of the following could define ?
選択肢 A：
軸との交点の符号をそのままかっこに入れているので、この式のグラフが 軸と交わるのは 、、 です。 で 0 になる因数は です。
選択肢 B：（正解）
正解。グラフは 、、 で 軸と交わるので、因数は 、、 です。 で となり、グラフと同じく 軸より下で、右側で上がっていく形も合います。
選択肢 C：
軸との交点は合っていますが、前のマイナスでグラフが上下逆になります。 で となり 軸より上で、右側では下がっていきます。図のグラフは 軸より下で 軸と交わります。
選択肢 D：
で となり 切片は合いますが、 軸と交わるのが 、、 でグラフと合いません。1点が合うだけでは足りず、 軸との交点も合う必要があります。
解き方
- グラフは 、、 で 軸と交わるので、 は 、、 を因数にもちます。
- グラフは 軸より下で 軸と交わり、右側で上がっていきます。 は で となり、最高次の係数も正なので、 が合います。
ルールx軸の交点と因数
多項式のグラフが で 軸と交わるなら、 が因数です。たとえば で 軸と交わるなら、因数は です。最高次の係数が負だとグラフは上下逆になるので、 軸との交点を合わせたあと、 切片の符号か、右側で上がるか下がるかも確かめます。
つぎは、こうする
軸との交点を3つ読み、符号を逆にして因数にしたあと、 でグラフが 軸の上か下かを確かめます。
難易度（hydeSolutionの目安）：ふつう 軸との交点とグラフの向きの2つを両方確かめる必要があり、どちらか一方だけが合う選択肢もあるので、ふつうの難しさです。
Module 2（難しいほう） 問12 Linear equations in two variables（一次方程式（文字が2つ））・むずかしい
A farm mixes oats and corn to make 500 kilograms of feed. A kilogram of oats holds 0.12 kilogram of protein, and a kilogram of corn holds 0.08 kilogram. If the feed has kilograms of oats, its protein, in kilograms, is . Which statement best describes what 0.04 means here?
選択肢 A：If 1 kilogram of the oats is replaced with 1 kilogram of corn, the protein in the feed increases by 0.04 kilogram.
向きが逆です。オート麦をとうもろこしに替えると が1減るので、たんぱく質は0.04キロ減ります。
選択肢 B：Each kilogram of the feed contains 0.04 kilogram of protein, no matter how much of the feed is oats.
えさ1キロあたりのたんぱく質は を500でわった値で、0.08キロから0.12キロの間です。0.04にはならず、 によって変わります。
選択肢 C：If 1 kilogram of the corn is replaced with 1 kilogram of oats, the protein in the feed increases by 0.04 kilogram.（正解）
正解。とうもろこし1キロをオート麦1キロに替えると、重さは500キロのままで が1増えるので、 は0.04キロ増えます。 とも確かめられます。
選択肢 D：If 1 kilogram of oats is added to the feed and no corn is taken out, the protein in the feed increases by 0.04 kilogram.
とうもろこしを減らさずにオート麦を足すと、えさは500キロより重くなり、この式は使えません。足したオート麦1キロには0.12キロのたんぱく質があります。
解き方
- オート麦が キロ、とうもろこしが キロなので、 です。
- 合計を500キロのまま を1増やすということは、とうもろこし1キロを出して、オート麦1キロを入れるということです。
- この入れかえで、たんぱく質は キロ増えます。
ルール係数の意味
1次のモデルで の係数は、モデルの条件を守ったまま を1増やしたときの出力の変化です。合計が決まっているなら、一方が1増えると、もう一方は1減ります。
つぎは、こうする
えさの重さが500キロのまま を1増やすと、ほかに何が変わるかを考えます。
日本人がハマる理由
replace X with Y は「X を取り出して Y を入れる」という意味です。この向きを逆に読むと、オート麦ととうもろこしの向きが逆の文を選びやすくなります。
難易度（hydeSolutionの目安）：むずかしい 3つの選択肢がよく似ていて、合計の重さが決まっているのでオート麦が増えればとうもろこしが減る、と気づく必要があるからです。
Module 2（難しいほう） 問13 Equivalent expressions（同じ値になる式）・むずかしい
For every positive , the value of equals which of the following?
選択肢 A：
指数を引かずに、かけて としています。同じ文字の累乗のわり算では指数を引くので、 ではなく です。
選択肢 B：
指数をたして としています。これはかけ算のときの計算です。 は分母にあるので、指数は引きます。
選択肢 C：
の3乗根はとっていますが、8 をそのまま残しています。根号は中のすべての因数にかかり、 なので、係数は 2 です。
選択肢 D：（正解）
正解。 の3乗根は で、 でわると です。 なので になります。
解き方
- 根号を分数の指数で書くと、、 です。
- わり算なので指数を引きます。 なので、式は です。
- なので、 です。
ルール根号を指数に直す
根号は分数の指数で書きかえられます。 です。根号は、数もふくめて中のすべての因数にかかります。同じ文字の累乗のかけ算では指数をたし、わり算では指数を引きます。1 より大きい分数の指数は、整数と残りの分数に分けます。たとえば なので、 です。
つぎは、こうする
2つの根号を分数の指数に直し、分子の指数から分母の指数を引きます。
難易度（hydeSolutionの目安）：むずかしい 係数の3乗根、分母のちがう分数の指数の引き算、根号の形へのもどし方の3段階があり、どの段階でまちがえても、その答えが選択肢の中にあるので、難しい問題です。
Module 2（難しいほう） 問14 Two-variable data: Models and scatterplots（2つの変数のデータ（散布図とモデル））・むずかしい
A kettle of boiling water was switched off, and every 10 minutes a student recorded how much warmer the water was than the room, in degrees Celsius. The scatterplot shows this difference, degrees, minutes after the kettle was switched off. Which equation best models the data?
Water Temperature Above Room Temperature
選択肢 A：
両はしの点のすぐ近くを通る直線です(0分で80、120分で20。グラフは約21)。途中では高すぎて、60分では50になりますが、グラフでは約41です。減る量がだんだん小さくなっているからです。
選択肢 B：
10分ごとに0.8倍するモデルで、減り方が速すぎます。20分では ですが、グラフの値は約64です。
選択肢 C：（正解）
正解。20分ごとに差はおよそ0.8倍になっています(80、64、約51、約41)。最初の値80と「20分で0.8倍」を式にすると です。
選択肢 D：
20パーセント減ると残りは80パーセントなので、かける数は0.2ではなく0.8です。このモデルでは20分で16になり、グラフの約64とまったく合いません。
解き方
- 20分ごとの差を読みます。およそ80、64、51、41、33です。減る量は16、13、10、8とだんだん小さくなるので、直線は合いません。
- それぞれの値を1つ前の値でわります。、、 です。差は20分ごとにおよそ0.8倍になるので、指数関数のモデルです。
- 80から始めて20分ごとに0.8倍するので、 です。60分で確かめると で、グラフの約41と合います。
ルール直線か曲線か
同じ時間ごとにほぼ同じ量だけ減るデータは一次関数（linear function）のモデルに、ほぼ同じ割合で減るデータは指数関数（exponential function）のモデルに合います。 では、 が 増えるごとに値が 倍になります。
つぎは、こうする
最初と最後の点だけでなく、まん中あたりの点でも確かめます。直線と曲線は、両はしで同じ値になることがあるからです。
難易度（hydeSolutionの目安）：むずかしい 両はしの点では直線の式も合うので、まん中の点で確かめ、さらに0.8倍が何分ごとかも正しく読む必要があるからです。
Module 2（難しいほう） 問15 Circles（円）・むずかしい
The circle shown in the -plane is tangent to the -axis. An equation of the circle is , where is a constant. What is the radius of the circle?
選択肢 A：（正解）
正解。平方完成すると で、中心は です。円は中心の真下で 軸に接するので、半径は です。
選択肢 B：
は中心から 軸までの距離です。この円が接しているのは 軸なので、半径は中心から真下の 軸までの距離 です。
選択肢 C：
を とみなして としたときの値です。 はわからない定数で、半径を決めるのは「 軸に接する」という条件です。
選択肢 D：
は、半径がわかったあとに から出る定数 の値です。聞かれているのは半径です。
解き方
- と それぞれで平方完成します。 より、 です。
- 中心は です。 軸に接する円は、中心の真下の点 で 軸にふれます。
- 半径は から までの距離なので です。
ルール円が軸に接する
と それぞれで平方完成すると、円の式は の形になり、中心は です。 軸に接する円の半径は、中心から 軸までの距離 です。
つぎは、こうする
まず平方完成で中心を出します。次に、円がどちらの軸に接しているかを見ます。半径は、中心からその軸までの距離です。
日本人がハマる理由
tangent は数学の授業では tan の名前として覚えることが多く、「接する」という意味だと気づかないと、この条件を使えずに半径が出せなくなります。
難易度（hydeSolutionの目安）：むずかしい 平方完成だけでは定数が残って半径が決まらず、 軸に接するという条件を半径に結びつける必要があるからです。
Module 2（難しいほう） 問16 Linear functions（一次関数）・むずかしい
The linear function satisfies for all values of . Also, . Which equation gives ?
選択肢 A：
傾きを ( の増加量) ÷ ( の増加量) と、上下を逆にしています。傾きは ( の増加量) ÷ ( の増加量) です。
選択肢 B：
傾きは合っていますが、 ではなく として点を使っています。 から切片は13です。
選択肢 C：
12を傾きにしています。12は入力が3増えたときの出力の増え方なので、入力1あたりでは です。
選択肢 D：（正解）
正解。入力が3増えるごとに出力が12増えるので、傾きは4です。 から で、 です。
解き方
- は、入力が3増えるたびに出力が12増えるという意味なので、傾きは です。
- とおいて を使うと、 で、 です。
- よって で、 です。
ルール変化の割合
1次関数では、入力 が同じだけ増えれば、出力 はいつも同じだけ変わります。傾きは ( の増加量) ÷ ( の増加量) で、わかっている点を1つ代入すると切片が決まります。
つぎは、こうする
を「右へ3進むと12上がる」と読みかえてから、点を代入します。
難易度（hydeSolutionの目安）：むずかしい 変化の割合が関数の記号の中にかくれていて、比を逆にする、12を傾きにする、 の符号を落とす、というミスがそれぞれ選択肢になっているからです。
Module 2（難しいほう） 問17 Nonlinear equations in one variable and systems of equations in two variables（一次でない方程式と連立方程式）・むずかしい
Which choice lists every value of that satisfies the given equation?
選択肢 A： only（正解）
正解。 をかけると となり、 または です。 では と が 0 になり式が成り立たないので、解は だけです。
選択肢 B： only
を と因数分解していますが、展開すると です。正しくは で、 は式をみたしません。
選択肢 C： and
どちらも二次方程式の解ですが、 では分母が2つ 0 になり、もとの式の値がありません。この値はのぞきます。
選択肢 D： and
因数分解の符号をまちがえ、確かめもしていません。 では分母が 0 になり、 では左辺が 、右辺が で等しくなりません。
解き方
- なので、両辺に をかけると です。
- 整理すると 、つまり で、 です。よって または です。
- では分母の と が 0 になるので、この値はのぞきます。解は だけです。
ルール分母が0の解をのぞく
分数をふくむ方程式の両辺に共通の分母をかけると、もとの式の解ではない値が出てくることがあります。これを extraneous solution（無縁解）といいます。出た値はもとの式の分母に入れて確かめ、分母を 0 にする値はのぞきます。
つぎは、こうする
解く前に、分母を 0 にする値を書き出します。この式では と は解になりません。
難易度（hydeSolutionの目安）：むずかしい 分母をはらう、因数分解する、解を確かめる、の3段階が必要で、確かめを忘れると誤りの組を選んでしまうので、難しい問題です。
Module 2（難しいほう） 問18 Area and volume（面積と体積）・むずかしい
A right circular cylinder has a base with a diameter of . A right circular cone with the same base and the same height as the cylinder is removed from the cylinder, and the slant height of this cone is . The volume of the solid that remains is . What is the value of ?
正解として採点される入力の例：192
値が等しい分数も正解です（約分していないものも）。
解き方
- 底面の半径は直径の半分なので、 です。
- 円すいの高さ、底面の半径、母線は、母線を斜辺とする直角三角形になるので、 です。
- 円柱の体積は で、底面と高さが同じ円すいはその3分の1の です。
- 残った立体の体積は なので、 です。
よくある間違い
96：これはくりぬいた円すいの体積 です。聞かれているのは、円すいを取ったあとに残る立体です。240：母線の長さ を高さとして使った値 です。母線は斜辺なので、高さはそれより短い です。288：これは円すいを取る前の円柱全体の体積 です。
ルール円柱から円すい
底面と高さが同じなら、円すいの体積は円柱の3分の1です。だから円柱からその円すいを取りのぞくと、円柱の3分の2が残ります。円すいの高さ、底面の半径、slant height（母線）は、母線を斜辺とする直角三角形になります。
つぎは、こうする
体積の公式を使う前に、与えられた長さが直径か半径か、高さか slant height（母線）かを確かめます。
日本人がハマる理由
slant height は日本語では「母線」で、高さとは別の長さです。英語の height という語につられて、10 をそのまま高さとして使ってしまいがちです。
難易度（hydeSolutionの目安）：むずかしい 直径を半分にする、母線から高さを出す、円柱の3分の2を残す、という3つの手順をつなぐ必要があり、どの手順にもわながあるからです。
Module 2（難しいほう） 問19 Systems of two linear equations in two variables（連立一次方程式）・むずかしい
The constant makes this system of equations have no solution. What is the value of ?
正解として採点される入力の例：-8/5、-1.6
値が等しい分数も正解です（約分していないものも）。
解き方
- 1つめの式を整理します。 から で、 です。
- 2つめの式を について解くと、 です。
- 解がないのは、2本の直線が平行で重ならないとき、つまり傾きが等しく 切片がちがうときです。切片 と3はすでにちがいます。
- 傾きを等しくすると で、 です。 と入力してもかまいません。
よくある間違い
8/5：マイナスの符号が落ちています。1つめの直線の傾きは 、2つめは なので、傾きが等しくなるには は負の数です。-8/7：右辺の を符号を変えずに左辺へ移し、 としています。両辺に を足すと です。-4/3：右辺の を無視して と比べています。先に の項をすべて片側にまとめます。
ルール平行なら解なし
2つの1次方程式の連立に解がないのは、2本の直線が平行で重ならないとき、つまり傾きが等しく 切片がちがうときです。比べる前に、両方の式を同じ形に直します。
つぎは、こうする
2つめの式と比べる前に、1つめの式の の項を片側にまとめます。
難易度（hydeSolutionの目安）：むずかしい 比べる前に1つめの式を整理する必要があり、答えが負の分数で、どこかで符号をまちがえると別の値になるからです。
Module 2（難しいほう） 問20 Nonlinear functions（一次でない関数）・むずかしい
Let , where and are positive constants. The equation is true for every input . What is the value of ?
正解として採点される入力の例：3/4、.75、0.75
値が等しい分数も正解です（約分していないものも）。
解き方
- 右辺を書きかえると です。
- 代入すると です。 なので両辺を でわると 、つまり です。
- 3乗根をとると 、つまり です。
よくある間違い
4/3：式を逆向きに読み、 が の 倍だとしています。この式では のほうが大きいので、 は減っていき、 は 1 より小さくなります。27/64：これは ではなく です。 と は3はなれているので、値の比は を3回かけたものです。3乗根をとります。64/27：式の中の数をそのまま としています。この数は3はなれた値どうしの比なので に関係し、しかも小さいほうの にかかっています。
ルール指数関数の比
では、 を だけ右に進めると値は 倍になります。 です。 はなれた値の比は なので 乗根をとり、どちらの値が大きいかにも注意します。
つぎは、こうする
を と書き、 が 1 より大きいか小さいかを先に考えます。
難易度（hydeSolutionの目安）：むずかしい 3進むと 倍になることに気づき、分数の3乗根をとり、どちらの値が大きいかにも注意する必要があるので、難しい問題です。
Module 2（難しいほう） 問21 Linear inequalities in one or two variables（一次不等式）・むずかしい
What is the greatest integer value of for which both parts of this compound inequality are true?
正解として採点される入力の例：4
値が等しい分数も正解です（約分していないものも）。
解き方
- 分母の最小公倍数12を、すべての辺にかけます。 です。
- まん中を整理すると で、すべての辺から19を引くと です。
- すべての辺を でわり、不等号の向きを両方とも逆にします。、つまり です。
- は5より小さく、5と等しくはなれないので、条件に合う最大の整数は4です。
よくある間違い
5： の範囲の上の端は等号をふくみません。 のときまん中の式はちょうど で、 より大きくはありません。0： なので、これは条件に合う最小の整数です。問われているのは最大の整数です。
ルール負の数でわる
連続した不等式は、すべての辺に分母の公倍数をかけて分数を消します。負の数でわるときは、両方の不等号の向きを逆にします。等号のない不等号(< や >)の側の端の値はふくみません。
つぎは、こうする
まず3つの辺すべてに12をかけ、負の数でわる場面に気をつけます。
難易度（hydeSolutionの目安）：むずかしい 3種類の分母を消す計算、負の数でわるときの向きの反転、端の値が整数なのに等号がなくふくまれない点、の3つが重なるからです。
Module 2（難しいほう） 問22 Nonlinear functions（一次でない関数）・むずかしい
The graph of in the -plane is obtained by translating the graph of 4 units to the left and 6 units down, where . What is the minimum value of ?
正解として採点される入力の例：-11
値が等しい分数も正解です（約分していないものも）。
解き方
- 平方完成すると です。
- のグラフの頂点は で、 の最小値は です。
- 左への移動は頂点の 座標だけを変え、下へ 6 の移動はすべての値を 6 小さくします。 のグラフの頂点は なので、 の最小値は です。
よくある間違い
-5：移動する前の の最小値です。グラフを下へ 6 動かすと、いちばん小さい値もふくめて、すべての値が 6 小さくなります。-6：最小になる場所、つまり のグラフの頂点の 座標 です。聞かれているのは最小値そのもの、つまり 座標です。1：定数項の 7 を の最小値と考えて 6 を引いています。定数項は の値で、最小値は頂点での値 です。
ルール平行移動と最小値
放物線の最小値は頂点の 座標で、平方完成で求めます。グラフを左右に動かしても頂点が横にずれるだけで最小値は変わらず、上下に動かすとその分だけ最小値が変わります。
つぎは、こうする
まず のグラフの頂点を求め、移動のうち上下の部分だけを頂点の 座標に反映させます。
難易度（hydeSolutionの目安）：むずかしい 係数が3の式を平方完成し、最小値を変えるのは下への移動だけだと気づく必要があり、頂点の 座標とまちがえやすいので、難しい問題です。
SAT® は College Board の登録商標です。この模試は College Board の承認を受けたものではありません。問題はすべてhydeSolutionのオリジナルです。